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By Stasys Jukna

Prof. Dr. Stasys Jukna, Universität Frankfurt/litauische Akademie der Wissenschaften

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Es ist klar, dass E nicht grofier als N ist und, wenn man die Zahlen auf einer Linie dargestellt vorstellt, hat E sehr viele »Lucken«: Jede zweite Zahl fehlt! Also sollte E echt kleiner als N sein? Die Antwort ist: Nein, die Mengen E und N sind gleich grofi! Beweis: f{n) = 2n ist eine bijektive Abbildung von N nach E, denn x ^ y gilt genau dann, wenn 2x ^ 2y gilt. } aller natiirlichen Zahlen sind. Solche Mengen nennt man »abzahlbar«. Definition: Eine Menge A heifit ahzdhlbar, wenn es eine Injektion f : A^N gibt.

Kennen wir auch andere unendliche Mengen: N C ^ ^ Q ^ I^- Sind diese Mengen grofier als N oder sind sie abzahlbar, d. h. gleich grofi wie N? Auf dem ersten Blick scheinen diese Mengen viel grofier als N zu sein. Insbesondere die Menge Q, da sie sehr »dicht« ist: Zwischen beliebigen zwei rationalen Zahlen liegt mindestens eine rationale Zahl (sogar unendlich viele). Die Intuition ist aber triigerisch: Die ersten drei Mengen N,Z und Q sind gleich grofi (sind abzahlbar)! Nur die letzte Menge M ist »echt grofier« als N (ist iiberabzahlbar).

3. Rufe Hanoi(n — l;c, 6, a) auf (verlege n — 1 Scheiben vom Hilfsstab c nach Stab b). Zu beachten ist dabei, dass sich die Rollen der drei Stabe (Ausgangs-, Ziel- und Hilfsstab) standig wechseln. 2 Das Rucksackproblem Fiir diejenigen Leser, die das vorherige Beispiel als zu »spielerisch« empfunden haben, geben wir eine ernsthaftere algorithmische Anwendung der Induktion an. Eine mathematische Modellierung einer alltaglichen Situation: Geht ein Bergsteiger auf eine mehrtagige Wanderung, hat er sich reiflich zu iiberlegen, welche Dinge er unbedingt mitfiihren sollte.

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