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By Christoph Schweigert

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Wir werden sp¨ater sehen, dass die beiden Matrizen sogar Γ erzeugen. Wir veranschaulichen die Situation im folgenden Bild, in dem die Modulfigur schraffiert ist: Beweis. 2 Im M τ = Im τ , |cτ + d|2 wobei M ∈ Γ beliebig ist. Sei Γ die von S und T erzeugte Untergruppe von Γ. Wenn wir nun eine Folge (cn , dn ) mit paarweise verschiedenen Gliedern betrachten, so gilt notwendigerweise |cn τ + dn | → ∞ . Es existiert also eine Matrix M0 ∈ Γ , so dass Im M0 τ ≥ Im M τ f¨ ur alle M ∈ Γ gilt. Setze τ0 := M0 τ .

Ist g ∈ [Γ, k] eine Nichtspitzenform, so gilt [Γ, k] = [Γ, k]0 ⊕ Cg . Der Unterraum der Spitzenformen hat also h¨ochstens die Kodimension 1. 53 Beweis. Ist f ∈ [Γ, k], so ist h := f − f (i∞) g g(i∞) ✷ eine Spitzenform. 4. Die Multiplikation mit der Diskriminantenfunktion ∆ vermittelt einen Isomorphismus [Γ, k − 12] → f → [Γ, k]0 f ·∆ Beweis. 9 nicht verschwindet, ist die Abbildung injektiv. 9 keine Nullstelle hat. Ferner ist f auch in i∞ regul¨ar, da ∆ dort nur eine Nullstelle erster Ordnung hat.

2. 5 ein Beispiel f¨ ur eine Spitzenform; sie hat Gewicht 12. 3. Ist fi ∈ [Γ, ki ], so ist f1 · f2 ∈ [Γ, k1 + k2 ]. 4. Das Produkt einer Spitzenform mit einer beliebigen ganzen Modulform ist wieder eine Spitzenform. 3. Ist g ∈ [Γ, k] eine Nichtspitzenform, so gilt [Γ, k] = [Γ, k]0 ⊕ Cg . Der Unterraum der Spitzenformen hat also h¨ochstens die Kodimension 1. 53 Beweis. Ist f ∈ [Γ, k], so ist h := f − f (i∞) g g(i∞) ✷ eine Spitzenform. 4. Die Multiplikation mit der Diskriminantenfunktion ∆ vermittelt einen Isomorphismus [Γ, k − 12] → f → [Γ, k]0 f ·∆ Beweis.

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