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By Prof. Dr. Michael Leinert (auth.)

Dieses Buch soll in die Integrations- und Maßtheorie einführen. Wie ich hoffe, eignet es sich für Studenten zum Gebrauch neben der Vorlesung oder zum Eigenstudium, am besten mit Papier und Bleistift, aber auch für fortgeschrittenere Mathematiker zum Nachschlagen. Vorausgesetzt werden die mathematischen Grundvorlesungen. Gelegentlich benutzte topologische oder funktionalanalytische Tatsachen sind im Anhang zusammen­ gestellt. In 3.28 werden Ordinalzahlen benutzt, da ich keinen anderen Beweis der dortigen Resultate kenne. Ausgangspunkt der Betrachtungen ist die Integrationstheorie, die auch innerhalb der Maßtheorie immer wieder als Hilfsmittel benutzt wird, used to be der größeren Durchsichtigkeit und Einfachheit der Darstellung dienen soll. Die Integrationstheorie ist so angelegt, daß vieles auch ohne die Voraussetzung der Verbandseigenschaft gültig bleibt, die Theorie additionally auch auf Beispiele anwendbar ist, die mit der üblich fOlmulierten Integrationstheorie nicht erfaßt werden können. Jedes Kapitel schließt mit einem Abschnitt "Übungen, Beispiele, Ergänzungen", der als integraler Bestandteil des Ganzen zu sehen ist. Es schien mir manchmal zweckmäßig, der natürlichen Entwicklung gegenüber dem systematischen Autbau den Vorzug zu geben, z. B. indem ein Begriff erst definiert wird, wenn er gebraucht wird, oder indem ein konkretes Beispiel Anlaß zu einer Definition gibt. In einer Vorlesung kann guy in dieser Richtung wesentlich weiter gehen, z. B. indem guy die Integrationstheorie am Beispiel des elementaren Integrals auf den Treppenfunktionen 1 durchführt, additionally Lebesgue-L und das Lebesgue-Integral konstruielt und danach feststellt, daß das betrachtete Beispiel schon den allgemeinen Fall enthält, da die gesamte Konstruktion einschließlich der benutzten Beweise auch im allgemeinen Fall gültig bleibt.

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Die Ai sind disjunkt und aus lt, und Ai = BE~, also LI Jl(Ai) = Jl(B). Wegen lim Jl(B k) = Jl(B). k k LI Jl(AD = Jl(U I Ai) = Jl(B k), folgt Kapitel 3 36 (f) Zu (e) gilt folgende Umkehrung: Jeder von unten stetige Inhalt ist ein Maß. Beweis. Sind AkE lt pamweise disjunkt mit B = u7 AkE lt, so setzen wir Bi = UiJ Ak. Wegen Bi i B gilt lim /-l(B i) = /-leB), also I,7/-l(Ak) = lim I,iJ /-l(Ak) = lim /-l(B i) = /-leB) = /-l(u7 Ak). (g) Für jedes Maß /-l gilt: Sind A,AiE lt und A c U 7 Ai, so folgt /-l(A) ~ I,7/-l(Ai).

Ergänzend: Beschreibung und Kardinalzahl einer erzeugten cr-Algebra. Halbringe und Maße darauf, verschiedene Stetigkeitseigenschaften von Maßen. Dynkin-Systeme, ein Eindeutigkeitssatz für Maße. Sei X eine Menge, P(X) ihre Potenzmenge, also die Menge aller Teilmengen von X. Unter einem Mengensystem auf X verstehen wir eine Menge von Teilmengen von X, also eine Teilmenge von P(X). 1) Definition. Ein nichtleeres Mengensystem i) c P(X) heißt ein Ring (auf X), wenn gilt: (i) A, BE i) ::::} Au BE i).

Ein Dynkin-System Ist Qe" ein System von Teilmengen von X, so ist P(X) ein Qe" enthaltendes Dynkin-System. Der Durchschnitt aller Qe" enthaltenden Dynkin-Systeme ist ein Dynkin-System. Es ist das kleinste Qe" enthaltende Dynkin-System, wird deshalb das von System genannt und mit 1J(Qe") bezeichnet. 44) Satz. Ist das Mengensystem e erzeugte Dynkin- Qe" c P(X) unter Durchschnitt abgeschlossen, so gilt Qe" enthält, gilt 1J(Qe") c ~(Qe"). Für die umgekehlte Inklusion genügt es zu zeigen, daß 1J(Qe") eine Beweis.

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